三角形の角の二等分線の長さを求める問題をわかりやすく解説！

高校数学Ⅰの『図形と計量』で重要問題の１つである『三角形の角の二等分線の長さ』に関する問題をわかりやすく解説しました！

『角度が与えられている場合』と『角度が与えられていない場合』の２種類の問題を解けるようにしましょう！

問題

(1)　 $AB = 3$ ， $AC = 5$ ， $∠ A = 120^{\circ}$ の $△ ABC$ において，角の二等分線 $AD$ の長さを求めよ。

(2)　 $AB = 4$ ， $BC = 6$ ， $AB = 5$ の $△ ABC$ において，角の二等分線 $AD$ の長さを求めよ。

(1)　 $AD = x$ とおくと

\begin{array}{rcl} △ ABC & = & △ ABD + △ ACD \\ \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 5 \sin 120^{\circ} & = & \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot x \sin 60^{\circ} + \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot x \sin 60^{\circ} \\ 3 \cdot 5 & = & 3 \cdot x + 5 \cdot x \\ x & = & \frac{15}{8} \end{array}

　したがって　　　 $AD = \frac{15}{8}$

(2)　 $△ ABC$ で余弦定理より

　　　　　　 $\cos B = \frac{4^{2} + 6^{2} - 5^{2}}{2 \cdot 4 \cdot 6} = \frac{9}{16}$

　線分 $AD$ は角の二等分線なので

　　　　　　 $BD : DC = AB : AC = 4 : 5$

　よって　　 $BD = \frac{4}{9} BC = \frac{8}{3}$

　 $△ ABD$ で余弦定理より

　　　　　　 ${AD}^{2} = 4^{2} + {(\frac{8}{3})}^{2} - 2 \cdot 4 \cdot \frac{8}{3} \cos B = \frac{100}{9}$

　 $AD > 0$ より　　　 $AD = \frac{10}{3}$

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角度が与えられている場合のポイント

三角形の面積を利用して、角の二等分線の長さを求める。

問題

(1)　 $AB = 3$ ， $AC = 5$ ， $∠ A = 120^{\circ}$ の $△ ABC$ において，角の二等分線 $AD$ の長さを求めよ。

解答

＜三角形の面積を利用して解く＞
$△ ABC = △ ABD + △ ACD$ を利用することで、角の二等分線の長さ $AD$ の長さが求まる

(1)　 $AD = x$ とおくと

\begin{array}{rcl} △ ABC & = & △ ABD + △ ACD \\ \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 5 \sin 120^{\circ} & = & \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot x \sin 60^{\circ} + \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot x \sin 60^{\circ} \\ 3 \cdot 5 & = & 3 \cdot x + 5 \cdot x \\ x & = & \frac{15}{8} \end{array}

　したがって　　　 $AD = \frac{15}{8}$

角度が与えられていない場合

余弦定理と角の二等分線の性質を利用して、角の二等分線の長さを求める。

問題