三角比の基本

数学Ⅰの三角比が最初からよくわからない人必見！

30°，45°，60°における三角比を丁寧に解説しました！

三角比の最初は直角三角形の辺の比を考えることが重要！

ここがわからなければ，三角比はわからないままです！

この投稿を見れば，三角比の基本はばっちり！

三角比の定義

直角三角形の鋭角（$90^\circ$ 未満の角）の１つを $\theta$ とし，斜辺の長さを $r$ ，その他の辺の長さを下図のように $x$，$y$ とするとき，三角比の定義は以下のようになる。
※ $x$ のことを $\theta$ の隣の辺なので「隣辺」，$y$ のことを $\theta$ の向かいの辺なので「対辺」とよぶこともある。

● $\sin\theta$ の覚え方

$s$ の筆記体で $\displaystyle{\sin\theta=\frac{y}{r}}$

● $\cos\theta$ の覚え方

$c$ と書いて $\displaystyle{\cos\theta=\frac{x}{r}}$

● $\tan\theta$ の覚え方

$t$ の筆記体で $\displaystyle{\tan\theta=\frac{y}{x}}$

30°，45°，60° の三角比

30°，60° の三角比

１辺の長さが 2 の正三角形を半分にすると，

30°，60° の直角三角形ができる

30°，60° の直角三角形の辺の比は $1：2：\sqrt{3}$ である

この直角三角形を用いると，30°，60° の三角比を求めることができる

● 30°の三角比

$\displaystyle{\sin30^\circ=\frac{1}{2}}$

$ \displaystyle{\cos30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}}$

$ \displaystyle{\tan30^\circ=\frac{1}{\sqrt{3}}}$

● 60°の三角比

$\displaystyle{\sin60^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}}$

$\displaystyle{ \cos60^\circ=\frac{1}{2}}$

$ \displaystyle{\tan60^\circ=\sqrt{3}}$

45° の三角比

直角二等辺三角形を用いると，45° の三角比が求まる

直角二等辺三角形の辺の比は $1：1：\sqrt{2}$ である

$ \displaystyle{\sin45^\circ=\frac{1}{\sqrt{2}}}$

$ \displaystyle{\cos45^\circ=\frac{1}{\sqrt{2}}}$

$ \displaystyle{\tan45^\circ=1}$

その他の鋭角の三角比

例えば，20$^\circ$ の三角比を考えてみよう

30$^\circ$，45$^\circ$，60$^\circ$ の直角三角形のように，

辺の比を計算で求めることは容易ではない

ちなみに，20$^\circ$ の三角比の値は

$\sin20^\circ=0.3420…$

$\cos20^\circ=0.9397…$

$\tan20^\circ=0.3640…$

角度がどうであれ，実際に長さを測れば三角比の値を求めることができる

鋭角の三角比の値の規則性

30°，45°，60° の三角比の値を表にしてみる

規則性が分かりやすいように $\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}}$ と書き換える（分母の有理化）

$\theta$	30$^\circ$	45$^\circ$	60$^\circ$
$\sin\theta$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\cos\theta$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$
$\tan\theta$	$\frac{1}{\sqrt{3}}$	$1$	$\sqrt{3}$

$\theta$ が大きくなるにつれて

• $\sin\theta$ は大きくなる
• $\cos\theta$ は小さくなる
• $\tan\theta$ は大きくなる

という規則性があることが分かる

図形から見た規則性

$\sin\theta$ と $\cos\theta$

直角三角形の斜辺の長さを $1$

すなわち $r=1$ で固定して三角比の定義を考えると

$$\sin\theta=\frac{y}{r}，\cos\theta=\frac{x}{r}$$

$$　　　　　　\Downarrow 　　r=1とする$$

$$\sin\theta=y，\cos\theta=x$$

$\sin\theta$ は $y$ の長さ，$\cos\theta$ は $x$ の長さになる

30$^\circ$，60$^\circ$ の直角三角形の斜辺の長さを $1$ にすると

45$^\circ$ の直角三角形の斜辺の長さを $1$ にすると

斜辺の長さが $1$ の 30$^\circ$，45$^\circ$，60$^\circ$ の直角三角形を並べてみると

$\theta$ の値が大きくなるにつれて

• 直角三角形の高さは大きくなるので，$\sin\theta$ は大きくなる
• 直角三角形の底辺は小さくなるので，$\cos\theta$ は小さくなる

$\tan\theta$

$\tan\theta$ は $\displaystyle\frac{y}{x}$ なので，

直角三角形の斜辺の傾きを表している

30$^\circ$，45$^\circ$，60$^\circ$ の直角三角形を並べてみると

$\theta$ の値が大きくなるにつれて

直角三角形の斜辺の傾きが大きくなるので，$\tan\theta$ は大きくなる

まとめ

● 鋭角の三角比の定義

　$\sin\theta=\frac{y}{r}，\cos\theta=\frac{x}{r}，\tan\theta=\frac{y}{x}$

● 30°，45°，60° の三角比の値

$\theta$	30$^\circ$	45$^\circ$	60$^\circ$
$\sin\theta$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\cos\theta$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$
$\tan\theta$	$\frac{1}{\sqrt{3}}$	$1$	$\sqrt{3}$

● 鋭角の三角比の値の規則性

$$\sin\theta=\frac{y}{r}，\cos\theta=\frac{x}{r}$$

$$　　　　　　\Downarrow 　　r=1とする$$

$$\sin\theta=y，\cos\theta=x$$

$\theta$ の値が大きくなるにつれて

• 直角三角形の高さは大きくなるので，$\sin\theta$ は大きくなる
• 直角三角形の底辺は小さくなるので，$\cos\theta$ は小さくなる

$\tan\theta$ は $\frac{y}{x}$ なので，

直角三角形の斜辺の傾きを表している

$\theta$ の値が大きくなるにつれて

直角三角形の斜辺の傾きが大きくなるので，$\tan\theta$ は大きくなる