三角比の拡張

鈍角の三角比の考え方きちんと理解していますか？

鋭角の三角比は直角三角形で考えていましたが，鈍角の三角比は座標で考えるので少し難しく感じます！

ですが，基本をきちんとおさえることで必ず理解できます！

単位円を使った鈍角の三角比の考え方をわかりやすく解説します！

　

鋭角の三角比の定義

直角三角形の鋭角（$90^\circ$ 未満の角）の１つを $\theta$ とし，斜辺の長さを $r$ ，その他の辺の長さを下図のように $x$，$y$ とするとき，三角比の定義は以下のようになる。
※ $x$ のことを $\theta$ の隣の辺なので「隣辺」，$y$ のことを $\theta$ の向かいの辺なので「対辺」とよぶこともある。

● $\sin\theta$ の覚え方

$s$ の筆記体で $\displaystyle{\sin\theta=\frac{y}{r}}$

● $\cos\theta$ の覚え方

$c$ と書いて $\displaystyle{\cos\theta=\frac{x}{r}}$

● $\tan\theta$ の覚え方

$t$ の筆記体で $\displaystyle{\tan\theta=\frac{y}{x}}$

　

詳しく復習したい人はこれ↓

三角比の基本

数学Ⅰの三角比が最初からよくわからない人必見！ 30°，45°，60°における三角比を丁寧に解説しました！ 三角比の最初は直角三角形の辺の比を考えることが重要！ ここがわからなければ，三角比はわからないままです！ この投稿を見れば，三角比の基本はばっちり！

enjoy-mathematics.com

2023.08.09

座標を用いた三角比の定義

座標平面上において原点を中心とする半径 $r$ の半円をかき，この半円と $x$ 軸の正の部分との交点を $A$ とする。

$∠AOP=\theta$ となる点 $P$ をこの半円上にとり，点 $P$ の座標を $(x，y)$ としたとき，

単位円による三角比の定義

$$\sin\theta=\frac{y}{r}，\cos\theta=\frac{x}{r}$$

$$　　　　　　\Downarrow 　　r=1とする$$

$$\sin\theta=y，\cos\theta=x$$

$\sin\theta$ は単位円上の点の $y$ 座標，$\cos\theta$ は単位円上の点の $x$ 座標

用いる直角三角形

30$^\circ$，45$^\circ$，60$^\circ$ の直角三角形の斜辺の長さを $1$ にすると

$\sin\theta$，$\cos\theta$ の値

● $\sin0^\circ=0$，$\cos0^\circ=1$

● $\displaystyle{\sin30^\circ=\frac{1}{2}}$，$ \displaystyle{ \cos30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}}$

● $ \displaystyle{ \sin45^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2}}$，$ \displaystyle{ \cos45^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2}}$

　実際，$ \displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{2}}}$ と書くことが多いですが，
　大小関係を分かりやすくするために $ \displaystyle{ \frac{\sqrt{2}}{2}}$ と書いています

● $ \displaystyle{ \sin60^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}}$，$ \displaystyle{ \cos60^\circ=\frac{1}{2}}$

● $\sin90^\circ=1$，$\cos90^\circ=0$

● $ \displaystyle{ \sin120^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}}$，$ \displaystyle{ \cos120^\circ=-\frac{1}{2}}$

● $ \displaystyle{ \sin135^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2}}$，$ \displaystyle{ \cos135^\circ=-\frac{\sqrt{2}}{2}}$

● $ \displaystyle{ \sin150^\circ=\frac{1}{2}}$，$ \displaystyle{ \cos150^\circ=-\frac{\sqrt{3}}{2}}$

● $\sin180^\circ=0$，$\cos180^\circ=-1$

$\theta$	$ 0^\circ$	$ 30^\circ$	$ 45^\circ$	$ 60^\circ$	$ 90^\circ$	$ 120^\circ$	$ 135^\circ$	$ 150^\circ$	$ 180^\circ$
$\sin\theta$	$0$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$1$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$0$
$\cos\theta$	$1$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$0$	$-\frac{1}{2}$	$-\frac{\sqrt{2}}{2}$	$-\frac{\sqrt{3}}{2}$	$-1$

$\sin\theta$ は $y$ 座標なので，$\theta$ が大きくなるにつれて，
$ 90^\circ$ までは大きくなり，$ 90^\circ$ 以降は小さくなる

$\cos\theta$ は $x$ 座標なので，$\theta$ が大きくなるにつれて，小さくなる

$\tan\theta$ の値

$\tan\theta$ は $ \displaystyle{ \frac{y}{x}}$ なので，$\tan\theta$ は直角三角形の斜辺の傾きを表している

● $ \displaystyle{ \tan30^\circ=\frac{1}{\sqrt{3}}}$，$\tan45^\circ=1$，$ \tan60^\circ=\sqrt{3}$

● $\tan120^\circ=-\sqrt{3}$，$\tan135^\circ=-1$，$ \displaystyle{ \tan150^\circ=-\frac{1}{\sqrt{3}}}$

● $\tan0^\circ=0$，$\tan180^\circ=0$

$ 0^\circ$，$ 180^\circ$ のときの傾きは $0$
（全く傾いていない）

● $\tan90^\circ$ はなし

$ 90^\circ$ のときの傾きは「定義できない」
（傾きすぎ）

$\theta$	$ 0^\circ$	$ 30^\circ$	$ 45^\circ$	$ 60^\circ$	$ 90^\circ$	$ 120^\circ$	$135^\circ$	$ 150^\circ$	$ 180^\circ$
$\tan\theta$	$0$	$\frac{1}{\sqrt{3}}$	$1$	$\sqrt{3}$	×	$-\sqrt{3}$	$-1$	$-\frac{1}{\sqrt{3}}$	$0$

三角比の符号

$\theta$	鋭角	鈍角
$\sin\theta$	$+$	$+$
$\cos\theta$	$+$	$-$
$\tan\theta$	$+$	$-$

鋭角は $ 0^\circ<\theta<90^\circ$，鈍角は $ 90^\circ<\theta<180^\circ$

　

まとめ

● 三角比の定義

　$ \displaystyle{ \sin\theta=\frac{y}{r}，\cos\theta=\frac{x}{r}，\tan\theta=\frac{y}{x}}$

● $\sin\theta$ は $y$ 座標，$\cos\theta$ は $x$ 座標
　（$r=1$ とすると）

● $\tan\theta$ は傾き

● 三角比の値

$\theta$	$ 0^\circ$	$ 30^\circ$	$ 45^\circ$	$ 60^\circ$	$ 90^\circ$	$ 120^\circ$	$ 135^\circ$	$ 150^\circ$	$ 180^\circ$
$\sin\theta$	$0$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$1$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$0$
$\cos\theta$	$1$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$0$	$-\frac{1}{2}$	$-\frac{\sqrt{2}}{2}$	$-\frac{\sqrt{3}}{2}$	$-1$
$\tan\theta$	$0$	$\frac{1}{\sqrt{3}}$	$1$	$\sqrt{3}$	×	$-\sqrt{3}$	$-1$	$-\frac{1}{\sqrt{3}}$	$0$

● 三角比の符号

$\theta$	鋭角	鈍角
$\sin\theta$	$+$	$+$
$\cos\theta$	$+$	$-$
$\tan\theta$	$+$	$-$

　鈍角における $\cos\theta$ と $\tan\theta$ が負になる