空間のベクトルの成分表示
平面のベクトルと同様に，空間のベクトルも成分表示を考えよう！
平面のベクトルの成分表示はこれ↓
$A(a_1，a_2，a_3)$ であるとき，
$\overrightarrow{OA}=(a_1，a_2，a_3)$
と表す
$a_1$ を $x$ 成分，$a_2$ を $y$ 成分，$a_3$ を $z$ 成分 という
平面のベクトルに $z$ 成分が加わるだけだね！
成分表示におけるベクトルの大きさ
$\vec{a}=(1，3，2)$ の大きさ $|\vec{a}|$ を考える
$|\vec{a}|$ は $OA$ の長さと等しいので
\begin{eqnarray} |\vec{a}| &=& OA \\\\ &=& \sqrt{1^2+3^2+2^2} \\\\ &=& \sqrt{14} \end{eqnarray}
以上より，成分表示におけるベクトルの大きさは以下のようになる
$2$ 点間の距離は「$2$ 乗の和のルート」！
成分表示の計算
成分表示の計算も，平面のベクトルに $z$ 成分が加わるだけと考えよう！
１ $(a_1，a_2，a_3)+(b_1，b_2，b_3)=(a_1+b_1，a_2+b_2，a_3+b_3)$
２ $(a_1，a_2，a_3)-(b_1，b_2，b_3)=(a_1-b_1，a_2-b_2，a_3-b_3)$
３ $k(a_1，a_2，a_3)=(ka_1，ka_2，ka_3)$
原点以外が始点のベクトル
座標平面上にある２点 $A(a_1，a_2，a_3)$，$B(b_1，b_2，b_3)$ について
$\overrightarrow{AB}$ を成分で表すと
$\overrightarrow{AB}= \overrightarrow{OB}- \overrightarrow{OA}$ より（ベクトルの減法）
\begin{eqnarray} \overrightarrow{AB} &=& \overrightarrow{OB}- \overrightarrow{OA} \\\\ &=& (b_1，b_2，b_3)-(a_1，a_2，a_3) \\\\ &=& (b_1-a_1，b_2-a_2，b_3-a_3) \end{eqnarray}
空間のベクトルの内積
内積も平面のベクトルと同様！
ベクトルの内積はこれ↓
$\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角を $\theta$ とすると
$\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$
なす角 $\theta$ は「始点を合わせたときの角度」のこと
また，$0^\circ≦\theta≦180^\circ$
なす角 $\theta$ を求めたい場合は
$\displaystyle{\cos\theta=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}}$
を用いる
空間のベクトルの成分表示における内積
$\vec{a}=(a_1，a_2，a_3)$，$\vec{b}=(b_1，b_2，b_3)$ のとき
$\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3$
＜証明＞
$\vec{a}=(a_1，a_2，a_3)$，$\vec{b}=(b_1，b_2，b_3)$ とする
$|\vec{a}-\vec{b}|^2=|\vec{a}|^2-2\vec{a}\cdot\vec{b}+|\vec{b}|^2$
$\vec{a}-\vec{b}=(a_1-b_1，a_2-b_2，a_3-b_3)$ より
$(a_1-b_1)^2+(a_2-b_2)^2+(a_3-b_3)^2$
$=({a_1}^2+{a_2}^2+{a_3}^2)-2\vec{a}\cdot\vec{b}+({b_1}^2+{b_2}^2+{b_3}^2)$
整理すると
$\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3$
内積に関する問題を解いてみよう！
次の $2$ つのベクトル $\vec{a}$，$\vec{b}$ のなす角 $\theta$ を求めよ。
$\vec{a}=(2，3，1)$，$\vec{b}=(-3，-1，2)$
\begin{eqnarray} \vec{a}\cdot\vec{b} &=& 2\cdot(-3)+3\cdot(-1)+1\cdot2 \\ &=& -7 \\\\ |\vec{a}| &=& \sqrt{2^2+3^2+1^2} \\ &=& \sqrt{14} \\\\ |\vec{b}| &=& \sqrt{(-3)^2+(-1)^2+2^2} \\ &=& \sqrt{14} \end{eqnarray}
よって
\begin{eqnarray} \cos\theta &=& \frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|} \\\\ &=& \frac{-7}{\sqrt{14}\sqrt{14}} \\\\ &=& -\frac{1}{2} \end{eqnarray}$0^{\circ}≦\theta≦180^{\circ}$ であるから
$\theta=120 ^{\circ} $
平面の復習にもなるね！
まとめ
● 空間のベクトルの成分表示
$A(a_1，a_2，a_3)$ であるとき，
$\overrightarrow{OA}=(a_1，a_2，a_3)$
$\vec{a}=(a_1，a_2，a_3)$ のとき
$|\vec{a}|=\sqrt{{a_1}^2+{a_2}^2+{a_3}^2}$
● 空間のベクトルの成分表示の計算
１ $(a_1，a_2，a_3)+(b_1，b_2，b_3)=(a_1+b_1，a_2+b_2，a_3+b_3)$
２ $(a_1，a_2，a_3)-(b_1，b_2，b_3)=(a_1-b_1，a_2-b_2，a_3-b_3)$
３ $k(a_1，a_2，a_3)=(ka_1，ka_2，ka_3)$
● 空間のベクトルの内積
$\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角を $\theta$ とすると
$\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$
なす角 $\theta$ を求めたい場合は
$\displaystyle{\theta=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}}$
● 空間のベクトルの内積の成分表示
$\vec{a}=(a_1，a_2，a_3)$，$\vec{b}=(b_1，b_2，b_3)$ のとき
$\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3$
平面のベクトルに $z$ 成分が加わるだけと考えよう！
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