2021年 共通テストⅡB 第１問 [2] 指数関数・対数関数（本試）

第１問「指数関数・対数関数」の問題

第１問「指数関数・対数関数」の分析と対策

問題で扱われている分野と力

• 指数法則を用いた計算　$\boxed{\mathbf{セ}}，\boxed{\mathbf{ソ}}$
• 相加平均と相乗平均の大小関係　$\boxed{\mathbf{タ}}，\boxed{\mathbf{チ}}$
• 指数関数を含む方程式　$\boxed{\mathbf{ツ}}，\boxed{\mathbf{テ}}$
• 関数の性質　$\boxed{\mathbf{ト}}～\boxed{\mathbf{ネ}}$

問題の分析

(1) は指数の計算，相加相乗平均，指数方程式といった基本的な問題

(2) の前半は関数の性質と指数の計算を混ぜた問題

(2) の後半は花子さんと太郎さんの会話から関数について考察する問題

　

(1) は基本をおさえていれば，解ける問題なので確実に解きたい

(2) の前半は解けるか解けないかで差がつきそうな問題

(3) は花子さんと太郎さんの会話がヒントになるが，時間もかかるのでとばしてもいい問題

対策

指数関数と対数関数については計算問題を確実に解けるように練習する必要がある

• 指数法則と対数の性質
• 指数方程式と不等式
• 対数方程式と不等式

　

関数の性質について，例えば

$f(x)=x^2-x$ のときの $f(-x)$ は，$x$ を $-x$ に置き換える

$f(-x)=(-x)^2-(-x)=x^2+x$

このことを理解しておく必要がある

　

(2) の後半については，

花子さんの「$\beta$ に何か具体的な値を代入して調べてみたら」というヒントをもとに考えられうようになろう

第１問「指数関数・対数関数」の解答

(1)

　

$\displaystyle{f(0)=\frac{2^0+2^0}{2}=\frac{1+1}{2}=\boxed{\mathbf{1}}}$

$\displaystyle{g(0)=\frac{2^0-2^0}{2}=\frac{1-1}{2}=\boxed{\mathbf{0}}}$

　

　

　$2^x>0$，$2^{-x}>0$ であるから，$f(x)$ は相加平均と相乗平均の大小関係から，

$\displaystyle{ f(x)=\frac{1 }{2}(2^x+2^{-x}) ≧ \frac{1}{2}\cdot2\sqrt{2^x\cdot2^{-x}}=1}$

　すなわち，$f(x) ≧ 1$ が成り立つので，$f(x)$ の最小値は $\boxed{\mathbf{1}} $

　等号が成り立つのは，　$2^x=2^{-x}$ のとき

　これを両辺に $2^x$ をかけて計算すると

$(2^x)^2=1$

$x=0$

　したがって，$f(x)$ は相加平均と相乗平均の大小関係から，$x=\boxed{\mathbf{0}}$ で最小値 $\boxed{\mathbf{1}}$ をとる

　

　

　$g(x)=-2$ のとき，

$\displaystyle{\frac{2^x-2^{-x}}{2}=-2}$

$\displaystyle{\frac{1}{2}\left(2^x-\frac{1}{2^x}\right)=-2}$

　$2^x=X$ とすると

$\displaystyle{\frac{1}{2}\left(X-\frac{1}{X}\right)=-2}$

$\displaystyle{X-\frac{1}{X}=-4}$

$X^2-1=-4X$

$X^2+4X-1=0$

$\displaystyle{X=-2±\sqrt{5}}$

　$2^x > 0$ より，$X > 0$ なので，　　　$\displaystyle{X=-2+\sqrt{5}}$

$\displaystyle{2^x=\sqrt{5}-2}$

$x=\log_2{\left(\sqrt{\boxed{\mathbf{5}}}-\boxed{\mathbf{2}}\right)}$

　

　

指数関数を含む方程式はこれ↓

指数関数を含む方程式

指数の基本と指数法則を使いこなして指数を含む方程式を解こう！

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2024.05.23

(2)

　

\begin{eqnarray} f(-x) &=& \frac{2^{-x}+2^{-(-x)}}{2}=\frac{2^x+2^{-x}}{2}=\boxed{f(x)} \\\\ g(-x) &=& \frac{2^{-x}-2^{-(-x)}}{2}=\frac{2^{-x}-2^x}{2}=-\frac{2^x-2^{-x}}{2} =\boxed{-g(x)} \end{eqnarray}

　

　

\begin{eqnarray} \{f(x)\}^2-\{g(x)\}^2 &=& \left(f(x)+g(x)\right)\left(f(x)-g(x)\right) \\\\ &=& \left(\frac{2^x+2^{-x}}{2}+\frac{2^x-2^{-x}}{2}\right)\left(\frac{2^x+2^{-x}}{2}-\frac{2^x-2^{-x}}{2}\right) \\\\ &=& 2^x\cdot2^{-x} \\\\ &=& \boxed{\mathbf{1}} \\\\ \\\\ g(2x) &=& \frac{2^{2x}-2^{-2x}}{2} \\\\ &=& \frac{(2^{x})^2-(2^{-x})^2}{2} \\\\ &=& \frac{(2^x+2^{-x})(2^x-2^{-x})}{2} \\\\ &=& 2\cdot\frac{2^x+2^{-x}}{2}\cdot\frac{2^x-2^{-x}}{2} \\\\ &=& \boxed{\mathbf{2}}f(x)g(x) \end{eqnarray}

　

　

(3)

　

　

　$\beta=0$ を代入し，$f(0)=1$，$g(0)=0$ を用いると

　(A) では，　　$f(\alpha)=f(\alpha)g(0)+g(\alpha)f(0)=g(\alpha)$

　常に $f(x)=g(x)$ とはならないので，(A) は不成立

　(C) では，　　$g(\alpha)=f(\alpha)f(0)+g(\alpha)g(0)=f(\alpha)$

　常に $f(x)=g(x)$ とはならないので，(C) は不成立

　(D) では，　　$g(\alpha)=f(\alpha)g(0)-g(\alpha)f(0)=-g(\alpha)$

　常に $g(x)=-g(x)$ とはならないので，(D) は不成立

　以上より，(B) $\boxed{\mathbf{①}}$ 以外の三つは成り立たないことがわかる　

　

　

　(B) について

\begin{eqnarray} f(\alpha)f(\beta) &=& \frac{2^{\alpha}+2^{-\alpha}}{2}\cdot\frac{2^{\beta}+2^{-\beta}}{2} \\\\ &=& \frac{1}{4}\left(2^{\alpha}2^{\beta}+\frac{2^{\alpha}}{2^{\beta}}+\frac{2^{\beta}}{2^{\alpha}}+\frac{1}{2^{\alpha}2^{\beta}}\right) \\\\ &=& \frac{1}{4}\left(2^{\alpha+\beta}+\frac{2^{\alpha}}{2^{\beta}}+\frac{2^{\beta}}{2^{\alpha}}+\frac{1}{2^{\alpha+\beta}}\right) \end{eqnarray}

　

\begin{eqnarray} g(\alpha)g(\beta) &=& \frac{2^{\alpha}-2^{-\alpha}}{2}\cdot\frac{2^{\beta}-2^{-\beta}}{2} \\\\ &=& \frac{1}{4}\left(2^{\alpha}2^{\beta}-\frac{2^{\alpha}}{2^{\beta}}-\frac{2^{\beta}}{2^{\alpha}}+\frac{1}{2^{\alpha}2^{\beta}}\right) \\\\ &=& \frac{1}{4}\left(2^{\alpha+\beta}-\frac{2^{\alpha}}{2^{\beta}}-\frac{2^{\beta}}{2^{\alpha}}+\frac{1}{2^{\alpha+\beta}}\right) \end{eqnarray}

　

　これらを足し合わせると

\begin{eqnarray} f(\alpha)f(\beta)+g(\alpha)g(\beta) &=& \frac{1}{4}\left(2\cdot2^{\alpha+\beta}+2\cdot\frac{1}{2^{\alpha+\beta}}\right) \\\\ &=& \frac{2^{\alpha+\beta}+\frac{1}{2^{\alpha+\beta}}}{2} \\\\ &=& \frac{2^{\alpha+\beta}+2^{-(\alpha+\beta)}}{2} \\\\ &=& f(\alpha+\beta) \end{eqnarray}

　となり，(B) が成り立つことがわかる

2021年度共通テストの大問

2021年度共通テスト数学ⅠA

• 第１問【１】数と式
• 第１問【２】図形と計量
• 第２問【１】２次関数
• 第２問【２】データの分析
• 第３問　　　場合の数と確率
• 第４問　　　整数の性質
• 第５問　　　図形の性質

2021年度共通テスト数学ⅡB

• 第１問【１】三角関数
• 第１問【２】指数関数・対数関数
• 第２問　　　微分法・積分法
• 第３問　　　確率分布と統計的な推測
• 第４問　　　数列
• 第５問　　　ベクトル