三角比の応用

直角三角形の１辺と鋭角が分かっている場合，他の辺の長さが求まることを知っていますか？

高校生が意外と知らない「角比を用いて直角三角形の辺の長さを求める方法」をわかりやすく解説しました！

覚えておくのは三角比の定義だけで十分です！

三角比の基本

数学Ⅰの三角比が最初からよくわからない人必見！ 30°，45°，60°における三角比を丁寧に解説しました！ 三角比の最初は直角三角形の辺の比を考えることが重要！ ここがわからなければ，三角比はわからないままです！ この投稿を見れば，三角比の基本はばっちり！

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2023.08.09

三角比の定義

直角三角形の鋭角（90$^\circ$ 未満の角）の１つを $\theta$ とし，斜辺の長さを $r$ ，その他の辺の長さを下図のように $x$，$y$ とするとき，三角比の定義は以下のようになる。

● $\sin\theta$ の覚え方

$s$ の筆記体で $\displaystyle{\sin\theta=\frac{y}{r}}$

● $\cos\theta$ の覚え方

$c$ と書いて $ \displaystyle{ \cos\theta=\frac{x}{r}}$

● $\tan\theta$ の覚え方

$t$ の筆記体で $ \displaystyle{ \tan\theta=\frac{y}{x}}$

三角比の応用

$ \displaystyle{ \sin\theta=\frac{y}{r}}$ を式変形すると

$y=r\sin\theta$

となる

直角三角形の斜辺の長さ $r$ と $\sin\theta$ があれば高さを求めることができる

同様に

$ \displaystyle{ \cos\theta=\frac{x}{r}}$，$ \displaystyle{ \tan\theta=\frac{y}{x}}$ を式変形すると

$x=r\cos\theta$，$y=x\tan\theta$

となる

$y=r\sin\theta$，$x=r\cos\theta$，$y=x\tan\theta$

　

まとめ

三角比の定義

$\displaystyle{\sin\theta=\frac{y}{r}}$，$\displaystyle{\cos\theta=\frac{x}{r}}$，$ \displaystyle{\tan\theta=\frac{y}{x}}$ を式変形すると

$y=r\sin\theta$，$x=r\cos\theta$，$y=x\tan\theta$

直角三角形の１つの鋭角の三角比の値と１辺の長さが分かっている場合，
他の辺の長さを求めることができる

問題

解答

(1)　$AB=10$，$A=35^\circ$ のとき，$BC$

　$\displaystyle{\sin35^\circ=\frac{BC}{AB}}$ より

\begin{eqnarray} BC &=& AB\sin35^{\circ} \\\\ &=& 10\times0.5736 \\\\ &=& 5.736 \end{eqnarray}

　

(2)　$AC=10$，$A=35^\circ$ のとき，$BC$

　$\displaystyle{\tan35^\circ=\frac{BC}{AC}}$ より

\begin{eqnarray} BC &=& AC\tan35^{\circ} \\\\ &=& 10\times0.7002 \\\\ &=& 7.002 \end{eqnarray}

　

(3)　$AB=6$，$\cos∠BAC=\frac{1}{3}$ のとき，$AC$

　$ \displaystyle{\cos∠BAC=\frac{AC}{AB}}$ より

\begin{eqnarray} AC &=& AB\cos\angle BAC \\\\ &=& 10\times\frac{1}{3} \\\\ &=& 2 \end{eqnarray}

　

(4)　$BC=5$，$\sin∠BAC=\frac{3}{5}$ のとき，$AB$

　$ \displaystyle{\sin∠BAC=\frac{BC}{AB}}$ より

\begin{eqnarray} AB &=& \frac{BC}{\sin\angle BAC} \\\\ &=& \frac{5}{\frac{3}{5}} \\\\ &=& \frac{25}{3} \end{eqnarray}