三角比の相互関係

三角比の相互関係３つ答えられますか？

その３つはそれぞれどういう場面で使えるか理解していますか？

三角比の相互関係が使いこなせれば，

sin・cos・tanの内の１つから，他の値を求めることができます！

鋭角か鈍角かに注意して使えれば，三角比の相互関係はばっちり！

三角比の相互関係

ただし　$(\sin\theta)^2=\sin^2\theta$，$(\cos\theta)^2=\cos^2\theta$，$(\tan\theta)^2=\tan^2\theta$

三角比の相互関係の証明

三角比の定義

$$\sin\theta=\frac{y}{r}，\cos\theta=\frac{x}{r}，\tan\theta=\frac{y}{x}$$

詳しい三角比の定義はこれ↓

三角比の拡張

鈍角の三角比の考え方きちんと理解していますか？ 鋭角の三角比は直角三角形で考えていましたが，鈍角の三角比は座標で考えるので少し難しく感じます！ ですが，基本をきちんとおさえることで必ず理解できます！ 単位円を使った鈍角の三角比の考え方をわかりやすく解説します！

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2023.08.09

$\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}$ の証明

$\displaystyle{\sin\theta=\frac{y}{r}}$，$\displaystyle{\cos\theta=\frac{x}{r}}$ より　$y=r\sin\theta$，$x=r\cos\theta$

$\displaystyle{\tan\theta=\frac{y}{x}=\frac{r\sin\theta}{r\cos\theta}=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}}$

よって　$\displaystyle{\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}}$

$\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$ の証明

三平方の定理より　$x^2+y^2=r^2$

$y=r\sin\theta$，$x=r\cos\theta$ を代入して

$r^2(\cos\theta)^2+r^2(\sin\theta)^2=r^2$

両辺を $r^2$ でわると

$\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$

$ 1+\tan^2\theta=\frac{1}{\cos^2\theta}$

$\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$ の両辺を $\cos^2\theta$ でわると

$$\displaystyle{\frac{\sin^2\theta}{\cos^2\theta}+1=\frac{1}{\cos^2\theta}}$$

$$\displaystyle{1+\left(\frac{\sin\theta}{\cos\theta}\right)^2=\frac{1}{\cos^2\theta}}$$

$$\displaystyle{1+\tan^2\theta=\frac{1}{\cos^2\theta}}$$

三角比の相互関係の使い方

● $\displaystyle{\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}}$

　$\sin\theta$，$\cos\theta$，$\tan\theta$ の中の２つが分かれば残りの１つが求まる

　

● $\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$

　$\sin\theta$，$\cos\theta$ の一方が分かれば他方が求まる

　

● $\displaystyle{1+\tan^2\theta=\frac{1}{\cos^2\theta}}$

　$\tan\theta$，$\cos\theta$ の一方が分かれば他方が求まる

$\theta$ が鋭角か鈍角かには注意

$\theta$ が鋭角か鈍角かによって，$\cos\theta$ と $\tan\theta$ の符号が変わるので注意

$\theta$	鋭角	鈍角
$\sin\theta$	$+$	$+$
$\cos\theta$	$+$	$-$
$\tan\theta$	$+$	$-$

鋭角は $ 0^\circ<\theta<90^\circ$，鈍角は $ 90^\circ<\theta<180^\circ$

まとめ

● 三角比の相互関係

$$\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}$$

$$\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$$

$$1+\tan^2\theta=\frac{1}{\cos^2\theta}$$

● 三角比の相互関係の使い方

　$\displaystyle{\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}}$　……　$\sin\theta$，$\cos\theta$，$\tan\theta$ の中の２つが分かれば残りの１つが求まる

　$\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$　……　$\sin\theta$，$\cos\theta$ の一方が分かれば他方が求まる

　$\displaystyle{1+\tan^2\theta=\frac{1}{\cos^2\theta}}$　……　$\tan\theta$，$\cos\theta$ の一方が分かれば他方が求まる

● $\theta$ は鋭角か鈍角か

$\theta$	鋭角	鈍角
$\sin\theta$	$+$	$+$
$\cos\theta$	$+$	$-$
$\tan\theta$	$+$	$-$

鋭角は $ 0^\circ<\theta<90^\circ$，鈍角は $ 90^\circ<\theta<180^\circ$

　$\sin\theta$ は $\theta$ が鋭角でも鈍角でも正
　$\cos\theta$，$\tan\theta$ は $\theta$ が鋭角なら正，鈍角なら負

問題

解答

(1)　$\theta$ が鈍角とする。$\displaystyle{\sin\theta=\frac{2}{3}}$ のとき，$\cos\theta$ と $\tan\theta$ の値を求めよ。

　$\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$ より　($\sin\theta$ が与えられているので $\cos\theta$ が求まる）

\begin{eqnarray} \cos^2\theta &=& 1-\sin^2\theta \\\\ &=& 1-\left(\frac{2}{3}\right)^2 \\\\ &=& \frac{5}{9} \end{eqnarray}

$\theta$ は鈍角なので　$\cos\theta<0$ より

$\displaystyle{\cos\theta=-\frac{\sqrt{5}}{3}}$

$\displaystyle{\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}}$ より　($\sin\theta$ と $\cos\theta$ があるので $\tan\theta$ が求まる)

$$\displaystyle{\tan\theta=\frac{\frac{2}{3}}{-\frac{\sqrt{5}}{3}}=-\frac{2}{\sqrt{5}}}$$

　

(2)　$\theta$ が鋭角とする。$\displaystyle{\tan\theta=\frac{3}{4}}$ のとき，$\sin\theta$ と $\cos\theta$ の値を求めよ。

$\displaystyle{1+\tan^2\theta=\frac{1}{\cos^2\theta}}$ より　($\tan\theta$ が与えられているので $\cos\theta$ が求まる)

\begin{eqnarray} 1+\left(\frac{3}{4}\right)^2 &=& \frac{1}{\cos^2\theta} \\\\ \frac{1}{\cos^2\theta} &=& \frac{25}{16}\\\\ \cos^2\theta &=& \frac{16}{25} \end{eqnarray}

$\theta$ が鋭角なので　$\cos\theta>0$ より

$\displaystyle{\cos\theta=\frac{4}{5}}$

$\displaystyle{\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}}$ より　($\cos\theta$ と $\tan\theta$ があるので $\sin\theta$ が求まる)

$$\sin\theta=\tan\theta\cos\theta=\frac{3}{4}×\frac{4}{5}=\frac{3}{5}$$