データの相関

相関

２つのデータの間に

一方が増えると他方も増える

一方が増えると他方が減る

という傾向がみられるとき

この２つのデータは「相関がある」という

例えば，身長と体重は，

一方が増えると他方も増える傾向にあるので

「相関がある」という

正の相関と負の相関

正の相関

一方が増えると他方も増える傾向

負の相関

一方が増えると他方が減る傾向

相関がない

相関係数

分散

	$x_1$	$x_2$	$x_3$	$x_4$	$x_5$	合計	平均
$x$	$1$	$3$	$5$	$7$	$9$	$25$	$\overline{x}=5$
偏差 $x-\overline{x}$	$-4$	$-2$	$0$	$2$	$4$	$0$	/
偏差の２乗 $(x-\overline{x}{)}^2$	$16$	$4$	$0$	$4$	$16$	$40$	$s^2=8$

偏差の２乗の和が　$40$

(分散)=(偏差の２乗の平均) なので

分散 ${\displaystyle s^2=\frac{1}{5}\mathrm{・}40=8}$

詳しくはこれ↓

分散と標準偏差

分散と標準偏差の求め方をマスターしよう！データの散らばり度合は分散と標準偏差で調べる！

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2022.12.17

共分散

$x$ と $y$ の共分散 $s_{xy}$ は

${\displaystyle s_{xy}=\frac{1}{n}\{(x_1-\bar{x})(y_1-\bar{y})+(x_2-\bar{x})(y_2-\bar{y})+\dots \dots +(x_n-\bar{x})(y_n-\bar{y})\}}$

共分散の符号と相関関係

散布図を以下のように $x$ の平均値 $\bar{x}$ と $y$ の平均値 $\bar{y}$ で４つの領域に分ける

４つの領域について，偏差の符号をみると

$(x\mathrm{と}y\mathrm{の}\mathrm{共}\mathrm{分}\mathrm{散})=(x\mathrm{の}\mathrm{偏}\mathrm{差}\mathrm{と}y\mathrm{の}\mathrm{偏}\mathrm{差}\mathrm{の}\mathrm{積}\mathrm{の}\mathrm{平}\mathrm{均})$ なので

相関係数の計算式

分子が $x$ と $y$ の共分散なので

相関係数が正のときは正の相関，負のときは負の相関がある

問題

	$x_1$	$x_2$	$x_3$	$x_4$	$x_5$	合計	平均
$x$	$1$	$3$	$5$	$7$	$9$	$25$	$\bar{x}=5$
$y$	$1$	$5$	$7$	$3$	$9$	$25$	$\bar{x}=5$
$x-\bar{x}$	$-4$	$-2$	$0$	$2$	$4$	$0$	/
$y-\bar{y}$	$-4$	$0$	$2$	$-2$	$4$	$0$	/
$(x-\bar{x}{)}^2$	$16$	$4$	$0$	$4$	$16$	$40$	$s_x^2=8$
$(y-\bar{y}{)}^2$	$16$	$0$	$4$	$4$	$16$	$40$	$s_y^2=8$
$(x-\bar{x})(y-\bar{y})$	$16$	$0$	$0$	$-4$	$16$	$28$	${\displaystyle s_{xy}=\frac{28}{5}}$

$x$ の分散 $s_x^2=8$，$y$ の分散 $s_y^2=8$，$x$ と $y$ の共分散 ${\displaystyle s_{xy}=\frac{28}{5}}$ より

${\displaystyle (x\mathrm{と}y\mathrm{の}\mathrm{相}\mathrm{関}\mathrm{係}\mathrm{数})=\frac{(x\mathrm{と}y\mathrm{の}\mathrm{共}\mathrm{分}\mathrm{散})}{\sqrt{(x\mathrm{の}\mathrm{分}\mathrm{散})}\times \sqrt{(y\mathrm{の}\mathrm{分}\mathrm{散})}}}$ を用いて

相関係数 ${\displaystyle r=\frac{\frac{28}{5}}{\sqrt{8}\times \sqrt{8}}=0.7}$

$x$ と $y$ には正の相関がある

まとめ

● 相関係数の求め方

　${\displaystyle (x\mathrm{と}y\mathrm{の}\mathrm{相}\mathrm{関}\mathrm{係}\mathrm{数})=\frac{(x\mathrm{と}y\mathrm{の}\mathrm{共}\mathrm{分}\mathrm{散})}{\sqrt{(x\mathrm{の}\mathrm{分}\mathrm{散})}\times \sqrt{(y\mathrm{の}\mathrm{分}\mathrm{散})}}}$

　ここで　$(\mathrm{分}\mathrm{散})=(\mathrm{偏}\mathrm{差}\mathrm{の}２\mathrm{乗}\mathrm{の}\mathrm{平}\mathrm{均})$

　　　　　$(x\mathrm{と}y\mathrm{の}\mathrm{共}\mathrm{分}\mathrm{散})=(x\mathrm{の}\mathrm{偏}\mathrm{差}\mathrm{と}y\mathrm{の}\mathrm{偏}\mathrm{差}\mathrm{の}\mathrm{積}\mathrm{の}\mathrm{平}\mathrm{均})$

● 相関係数の特徴

　相関係数 $r$ は $-1\leqq r\leqq 1$ で
　・ $1$ に近づくほど強い正の相関がある
　・ $-1$ に近づくほど強い負の相関がある
　・ $0$ に近いと相関がない