10 進法
![](https://enjoy-mathematics.com/wp-content/uploads/2021/03/51bae72de686cf9eec05d28c967f24d3.jpg)
普段使っている $10$ 進法について,詳しくみてみよう!
$2345$ は千の位を $2$,百の位を $3$,十の位を $4$,一の位を $5$ と考える
![](https://enjoy-mathematics.com/wp-content/uploads/2021/06/de91bee554f499967ab4a177335b06c0.png)
$2345=2\cdot10^3+3\cdot10^2+4\cdot10^1+5\cdot10^0$ ($10^0=1$)
- 位の取り方が $10^○$ の位
- 各位の数字が $0,1,2,\cdots,9$ の $10$ 種類
であるような表記方法を $10$ 進法という
$0,1,2,\cdots,9$
$9$ の次は一の位だけで表せないから十の位をつくる
$10,11,12,\cdots,99$
$99$ の次は十の位だけで表せないから百の位をつくる
$100,101,102,\cdots,999$
$999$ の次は百の位だけで表せないから千の位をつくる
以上のように,$10$ 進法では $10^○$ ごとに位が上がる
2 進法
![](https://enjoy-mathematics.com/wp-content/uploads/2021/03/51bae72de686cf9eec05d28c967f24d3.jpg)
$10$ 進法の $10$ が $2$ になったと考えよう!
![](https://enjoy-mathematics.com/wp-content/uploads/2021/03/949e0b080dc0cd3c8380884ac56b6c57.jpg)
$2$ 進法は $0$ と $1$ しか使えないんだね!
![](https://enjoy-mathematics.com/wp-content/uploads/2021/03/51bae72de686cf9eec05d28c967f24d3.jpg)
$0$ から順番に書いていくとこんな感じ!
$10$ 進法 | $2$ 進法 |
$0$ | $0$ |
$1$ | $1$ |
$2$ | $10$ |
$3$ | $11$ |
$4$ | $100$ |
$5$ | $101$ |
$6$ | $110$ |
$7$ | $111$ |
$8$ | $1000$ |
$9$ | $1001$ |
$10$ | $1010$ |
$11$ | $1011$ |
$12$ | $1100$ |
$13$ | $1101$ |
$14$ | $1110$ |
$15$ | $1111$ |
$16$ | $10000$ |
$17$ | $10001$ |
$18$ | $10010$ |
$19$ | $10011$ |
$20$ | $10100$ |
$21$ | $10101$ |
$22$ | $10110$ |
$23$ | $10111$ |
$24$ | $11000$ |
$25$ | $11001$ |
$26$ | $11010$ |
$27$ | $11011$ |
$28$ | $11100$ |
$29$ | $11101$ |
$30$ | $11110$ |
$31$ | $11111$ |
$32$ | $100000$ |
$2$ 進法で位が上がるところをみてみると
$10$ 進法 | $2$ 進法 |
$2$ | $10$ |
$4$ | $100$ |
$8$ | $1000$ |
$16$ | $10000$ |
$32$ | $100000$ |
$2=2^1$,$4=2^2$,$8=2^3$,$16=2^4$,$32=2^5$
$2^○$ ごとに位が上がるので,位の取り方が $2^○$ の位
$2$ 進法で表記していることを表すために,
$2$ 進法で $10110$ を $10110_{(2)}$ と表す
2 進法を 10 進法にする
$10$ 進法の $2345$ は位取りが $10^○$ なので
![](https://enjoy-mathematics.com/wp-content/uploads/2021/06/de2b3769d31418965418b2eed27a03ba.png)
$2345=2\cdot10^3+3\cdot10^2+4\cdot10^1+5\cdot10^0$ ($10^0=1$)
と表せる
これを $2$ 進法で用いれば,$2$ 進法を $10$ 進法で表すことができる
![](https://enjoy-mathematics.com/wp-content/uploads/2021/03/51bae72de686cf9eec05d28c967f24d3.jpg)
$2$ 進法は位取りが $2^○$ であることを使おう!
![](https://enjoy-mathematics.com/wp-content/uploads/2021/06/ccdc803692e87931429fa1a61f18753d.png)
$10110_{(2)}=1\cdot2^4+0\cdot2^3+1\cdot2^2+1\cdot2^1+0\cdot2^0$ ($2^0=1$)
$=16+0+4+2+0$
$=22$
![](https://enjoy-mathematics.com/wp-content/uploads/2021/03/949e0b080dc0cd3c8380884ac56b6c57.jpg)
位取りができれば,$10$ 進法で表せるね!
3 進法
![](https://enjoy-mathematics.com/wp-content/uploads/2021/03/949e0b080dc0cd3c8380884ac56b6c57.jpg)
$3$ 進法は $0,1,2$ しか使えないんだね!
![](https://enjoy-mathematics.com/wp-content/uploads/2021/03/51bae72de686cf9eec05d28c967f24d3.jpg)
$0$ から順番に書いていくとこんな感じ!
$10$ 進法 | $3$ 進法 |
$0$ | $0$ |
$1$ | $1$ |
$2$ | $2$ |
$3$ | $10$ |
$4$ | $11$ |
$5$ | $12$ |
$6$ | $20$ |
$7$ | $21$ |
$8$ | $22$ |
$9$ | $100$ |
$10$ | $101$ |
$11$ | $102$ |
$12$ | $110$ |
$13$ | $111$ |
$14$ | $112$ |
$15$ | $120$ |
$16$ | $121$ |
$17$ | $122$ |
$18$ | $200$ |
$19$ | $201$ |
$20$ | $202$ |
$21$ | $210$ |
$22$ | $211$ |
$23$ | $212$ |
$24$ | $220$ |
$25$ | $221$ |
$26$ | $222$ |
$27$ | $1000$ |
$3$ 進法で位が上がるところをみてみると
$10$ 進法 | $3$ 進法 |
$3$ | $10$ |
$9$ | $100$ |
$27$ | $1000$ |
$3=3^1$,$9=3^2$,$27=3^3$
$3^○$ ごとに位が上がるので,位の取り方が $3^○$ の位
$3$ 進法で表記していることを表すために,
$3$ 進法で $212$ を $212_{(3)}$ と表す
3 進法を 10 進法にする
![](https://enjoy-mathematics.com/wp-content/uploads/2021/03/51bae72de686cf9eec05d28c967f24d3.jpg)
$3$ 進法は位取りが $3^○$ であることを使おう!
![](https://enjoy-mathematics.com/wp-content/uploads/2021/06/35666f62d9adcf9257e59da4e6990d5b.png)
$212_{(3)}=2\cdot3^2+1\cdot3^1+2\cdot3^0$ ($3^0=1$)
$=18+3+2$
$=23$
![](https://enjoy-mathematics.com/wp-content/uploads/2021/03/949e0b080dc0cd3c8380884ac56b6c57.jpg)
$3$ 進法は位取りが $3^○$!
n 進法
$2$ 進法や $3$ 進法と同様すれば,
$4$ 進法,$5$ 進法,$\cdots$ も $10$ 進法で表すことができる
まとめ
● $10$ 進法
- 位の取り方が $10^○$ の位
- 各位の数字が $0,1,2,\cdots,9$ の $10$ 種類
● $2$ 進法
- 位の取り方が $2^○$ の位
- 各位の数字が $0,1$ の $2$ 種類
● $3$ 進法
- 位の取り方が $3^○$ の位
- 各位の数字が $0,1,2$ の $3$ 種類
● $n$ 進法
- 位の取り方が $n^○$ の位
- 各位の数字が $0,1,2,\cdots,n-1$ の $n$ 種類
問題
(1) $101101_{(2)}$
(2) $12102_{(3)}$
(3) $241_{(5)}$
(1) $101101_{(2)}$
$101101_{(2)}=1\cdot2^5+0\cdot2^4+1\cdot2^3+1\cdot2^2+0\cdot2^1+1\cdot2^0$
$=32+0+8+4+0+1$
$=45$
(2) $12102_{(3)}$
$12102_{(3)}=1\cdot3^4+2\cdot3^3+1\cdot3^2+0\cdot3^1+2\cdot3^0$
$=81+54+9+0+2$
$=146$
(3) $241_{(5)}$
$241_{(5)}=2\cdot5^2+4\cdot5^1+1\cdot5^0$
$=50+20+1$
$=71$
![](https://enjoy-mathematics.com/wp-content/uploads/2021/03/949e0b080dc0cd3c8380884ac56b6c57.jpg)
これで $n$ 進法を $10$ 進法で表す問題は完璧!
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