n 進法①

10 進法

$2345$ は千の位を $2$，百の位を $3$，十の位を $4$，一の位を $5$ と考える

$2345=2\cdot10^3+3\cdot10^2+4\cdot10^1+5\cdot10^0$ ($10^0=1$)

• 位の取り方が $10^○$ の位
• 各位の数字が $0，1，2，\cdots，9$ の $10$ 種類

であるような表記方法を $10$ 進法という

$0，1，2，\cdots，9$

$9$ の次は一の位だけで表せないから十の位をつくる

$10，11，12，\cdots，99$

$99$ の次は十の位だけで表せないから百の位をつくる

$100，101，102，\cdots，999$

$999$ の次は百の位だけで表せないから千の位をつくる

以上のように，$10$ 進法では $10^○$ ごとに位が上がる

2 進法

$10$ 進法	$2$ 進法
$0$	$0$
$1$	$1$
$2$	$10$
$3$	$11$
$4$	$100$
$5$	$101$
$6$	$110$
$7$	$111$
$8$	$1000$
$9$	$1001$
$10$	$1010$
$11$	$1011$
$12$	$1100$
$13$	$1101$
$14$	$1110$
$15$	$1111$
$16$	$10000$
$17$	$10001$
$18$	$10010$
$19$	$10011$
$20$	$10100$
$21$	$10101$
$22$	$10110$
$23$	$10111$
$24$	$11000$
$25$	$11001$
$26$	$11010$
$27$	$11011$
$28$	$11100$
$29$	$11101$
$30$	$11110$
$31$	$11111$
$32$	$100000$

$2$ 進法で位が上がるところをみてみると

$10$ 進法	$2$ 進法
$2$	$10$
$4$	$100$
$8$	$1000$
$16$	$10000$
$32$	$100000$

$2=2^1$，$4=2^2$，$8=2^3$，$16=2^4$，$32=2^5$

$2^○$ ごとに位が上がるので，位の取り方が $2^○$ の位

　

$2$ 進法で表記していることを表すために，

$2$ 進法で $10110$ を　$10110_{(2)}$　と表す

　

2 進法を 10 進法にする

$10$ 進法の $2345$ は位取りが $10^○$ なので

$2345=2\cdot10^3+3\cdot10^2+4\cdot10^1+5\cdot10^0$ ($10^0=1$)

と表せる

これを $2$ 進法で用いれば，$2$ 進法を $10$ 進法で表すことができる

$10110_{(2)}=1\cdot2^4+0\cdot2^3+1\cdot2^2+1\cdot2^1+0\cdot2^0$ ($2^0=1$)

　　　　$=16+0+4+2+0$

　　　　$=22$

3 進法

$10$ 進法	$3$ 進法
$0$	$0$
$1$	$1$
$2$	$2$
$3$	$10$
$4$	$11$
$5$	$12$
$6$	$20$
$7$	$21$
$8$	$22$
$9$	$100$
$10$	$101$
$11$	$102$
$12$	$110$
$13$	$111$
$14$	$112$
$15$	$120$
$16$	$121$
$17$	$122$
$18$	$200$
$19$	$201$
$20$	$202$
$21$	$210$
$22$	$211$
$23$	$212$
$24$	$220$
$25$	$221$
$26$	$222$
$27$	$1000$

$3$ 進法で位が上がるところをみてみると

$10$ 進法	$3$ 進法
$3$	$10$
$9$	$100$
$27$	$1000$

$3=3^1$，$9=3^2$，$27=3^3$

$3^○$ ごとに位が上がるので，位の取り方が $3^○$ の位

　

$3$ 進法で表記していることを表すために，

$3$ 進法で $212$ を　$212_{(3)}$　と表す

3 進法を 10 進法にする

$212_{(3)}=2\cdot3^2+1\cdot3^1+2\cdot3^0$ ($3^0=1$)

　　　$=18+3+2$

　　　$=23$

n 進法

$2$ 進法や $3$ 進法と同様すれば，

$4$ 進法，$5$ 進法，$\cdots$ も $10$ 進法で表すことができる

　

まとめ

● $10$ 進法

• 位の取り方が $10^○$ の位
• 各位の数字が $0，1，2，\cdots，9$ の $10$ 種類

● $2$ 進法

• 位の取り方が $2^○$ の位
• 各位の数字が $0，1$ の $2$ 種類

● $3$ 進法

• 位の取り方が $3^○$ の位
• 各位の数字が $0，1，2$ の $3$ 種類

● $n$ 進法

• 位の取り方が $n^○$ の位
• 各位の数字が $0，1，2，\cdots，n-1$ の $n$ 種類

問題

(1)　$101101_{(2)}$

　$101101_{(2)}=1\cdot2^5+0\cdot2^4+1\cdot2^3+1\cdot2^2+0\cdot2^1+1\cdot2^0$

　　　　　$=32+0+8+4+0+1$

　　　　　$=45$

　

(2)　$12102_{(3)}$

　$12102_{(3)}=1\cdot3^4+2\cdot3^3+1\cdot3^2+0\cdot3^1+2\cdot3^0$

　　　　$=81+54+9+0+2$

　　　　$=146$

　

(3)　$241_{(5)}$

　$241_{(5)}=2\cdot5^2+4\cdot5^1+1\cdot5^0$

　　　　$=50+20+1$

　　　　$=71$