データの相関

相関

２つのデータの間に

一方が増えると他方も増える

一方が増えると他方が減る

という傾向がみられるとき

この２つのデータは「相関がある」という

例えば，身長と体重は，

一方が増えると他方も増える傾向にあるので

「相関がある」という

正の相関と負の相関

正の相関

一方が増えると他方も増える傾向

負の相関

一方が増えると他方が減る傾向

相関がない

相関係数

分散

	$x_1$	$x_2$	$x_3$	$x_4$	$x_5$	合計	平均
$x$	$1$	$3$	$5$	$7$	$9$	$25$	$\bar{x}=5$
偏差 $x-\bar{x}$	$-4$	$-2$	$0$	$2$	$4$	$0$	/
偏差の２乗 $(x-\bar{x})^2$	$16$	$4$	$0$	$4$	$16$	$40$	$s^2=8$

偏差の２乗の和が　$40$

(分散)=(偏差の２乗の平均) なので

分散 $\displaystyle s^2=\frac{1}{5}・40=8$

詳しくはこれ↓

分散と標準偏差

分散と標準偏差の求め方をマスターしよう！データの散らばり度合は分散と標準偏差で調べる！

enjoy-mathematics.com

2022.12.17

共分散

$x$ と $y$ の共分散 $s_{xy}$ は

$\displaystyle s_{xy}=\frac{1}{n}\{(x_1-\overline{x})(y_1-\overline{y})+(x_2-\overline{x})(y_2-\overline{y})+……+(x_n-\overline{x})(y_n-\overline{y})\}$

共分散の符号と相関関係

散布図を以下のように $x$ の平均値 $\overline{x}$ と $y$ の平均値 $\overline{y}$ で４つの領域に分ける

４つの領域について，偏差の符号をみると

$(xとyの共分散)=(xの偏差とyの偏差の積の平均)$ なので

相関係数の計算式

分子が $x$ と $y$ の共分散なので

相関係数が正のときは正の相関，負のときは負の相関がある

問題

	$x_1$	$x_2$	$x_3$	$x_4$	$x_5$	合計	平均
$x$	$1$	$3$	$5$	$7$	$9$	$25$	$\overline{x}=5$
$y$	$1$	$5$	$7$	$3$	$9$	$25$	$\overline{x}=5$
$x-\overline{x}$	$-4$	$-2$	$0$	$2$	$4$	$0$	/
$y-\overline{y}$	$-4$	$0$	$2$	$-2$	$4$	$0$	/
$(x-\overline{x})^2$	$16$	$4$	$0$	$4$	$16$	$40$	$s_x^2=8$
$(y-\overline{y})^2$	$16$	$0$	$4$	$4$	$16$	$40$	$s_y^2=8$
$(x-\overline{x})(y-\overline{y})$	$16$	$0$	$0$	$-4$	$16$	$28$	$\displaystyle s_{xy}=\frac{28}{5}$

$x$ の分散 $s_x^2=8$，$y$ の分散 $s_y^2=8$，$x$ と $y$ の共分散 $\displaystyle s_{xy}=\frac{28}{5}$ より

$\displaystyle(xとyの相関係数)=\frac{(xとyの共分散)}{\sqrt{(xの分散)}×\sqrt{(yの分散)}}$ を用いて

相関係数 $\displaystyle r=\frac{\frac{28}{5}}{\sqrt{8}×\sqrt{8}}=0.7$

$x$ と $y$ には正の相関がある

まとめ

● 相関係数の求め方

　$\displaystyle(xとyの相関係数)=\frac{(xとyの共分散)}{\sqrt{(xの分散)}×\sqrt{(yの分散)}}$

　ここで　$(分散)=(偏差の２乗の平均)$

　　　　　$(xとyの共分散)=(xの偏差とyの偏差の積の平均)$

● 相関係数の特徴

　相関係数 $r$ は $-1≦r≦1$ で
　・ $1$ に近づくほど強い正の相関がある
　・ $-1$ に近づくほど強い負の相関がある
　・ $0$ に近いと相関がない