点の位置とベクトル

ベクトルの式から点の位置を求めよう！

今回の問題
ベクトルの差の分解
内分点におけるベクトル
ベクトルの式から点の位置を求める

今回の問題

次の問題を解けるようになろう！

　$2\overrightarrow{AP}+3\overrightarrow{BP}+4\overrightarrow{CP}=\vec{0}$ を満たすときの点 $P$ の位置

どこから手をつけたらいいか分からない…

初見で解くのは難しい！

コツをつかめば必ず解けるよ！

ベクトルの差の分解

問題を解くために復習から！

ベクトルの差の分解

$\overrightarrow{△□}=\overrightarrow{●□}- \overrightarrow{●△}$

例えば

$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$

$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$

ポイント

始点は自由に決められる<\li>

後－前（終点－始点）<\li>

詳しくはこれ↓

ベクトルの減法

ベクトルの入門！ベクトルの減法は加法で考えると簡単！

内分点におけるベクトル

辺 $AB$ を $m:n$ に内分する点 $P$

$\displaystyle{\overrightarrow{OP}=\frac{n\overrightarrow{OA}+m\overrightarrow{OB}}{m+n}}$

詳しくはこれ↓

内分点と外分点におけるベクトル

内分点と外分点におけるベクトルを表す方法を学ぼう！

ベクトルの式から点の位置を求める

まずは基本の問題から！

　$5\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{AB}+3\overrightarrow{AC}$ を満たすときの点 $D$ の位置

\begin{eqnarray} \overrightarrow{AD} &=& \frac{2\overrightarrow{AB}+3\overrightarrow{AC}}{5} \\\\ &=& \frac{2\overrightarrow{AB}+3\overrightarrow{AC}}{3+2} \end{eqnarray}

点 $D$ は線分 $BC$ を $3:2$ に内分する点

内分点におけるベクトルを表す式から，点の位置が求まるね！

それじゃあ，冒頭の問題にチャレンジしてみよう！

　$2\overrightarrow{AP}+3\overrightarrow{BP}+4\overrightarrow{CP}=\vec{0}$ を満たすときの点 $P$ の位置

手順１　始点をそろえる

まずは始点を $A$ にそろえよう！

そのときに，「ベクトルの差の分解」を用いよう！

\begin{eqnarray} 2\overrightarrow{AP}+3\overrightarrow{BP}+4\overrightarrow{CP} &=& \vec{0} \\\\ 2\overrightarrow{AP}+3(\overrightarrow{AP}-\overrightarrow{AB})+4(\overrightarrow{AP}-\overrightarrow{AC}) &=& \vec{0} \end{eqnarray}

手順２　$P$ の位置を求めたいので $\overrightarrow{AP}$ を求める

\begin{eqnarray} 2\overrightarrow{AP}+3(\overrightarrow{AP}-\overrightarrow{AB})+4(\overrightarrow{AP}-\overrightarrow{AC}) &=& \vec{0} \\\\ 9\overrightarrow{AP} &=& 3\overrightarrow{AB}+4\overrightarrow{AC} \\\\ \overrightarrow{AP} &=& \frac{3\overrightarrow{AB}+4\overrightarrow{AC}}{9} \end{eqnarray}

手順３　内分点におけるベクトルを作る

\begin{eqnarray} \overrightarrow{AP} &=& \frac{3\overrightarrow{AB}+4\overrightarrow{AC}}{9} \\\\ &=& \frac{□}{□}\frac{3\overrightarrow{AB}+4\overrightarrow{AC}}{□} \\\\ \end{eqnarray}

このような分数を作って，□に数字を入れていこう！

まずは，$3\overrightarrow{AB}+4\overrightarrow{AC}$ の下の□には何が入るといいかな？

$7$ が入ると内分点におけるベクトルになりそう！

\begin{eqnarray} \overrightarrow{AP} &=& \frac{3\overrightarrow{AB}+4\overrightarrow{AC}}{9} \\\\ &=& \frac{□}{□}\frac{3\overrightarrow{AB}+4\overrightarrow{AC}}{7} \\\\ \end{eqnarray}

いい感じ！

残りの□には何が入るかな？

$\displaystyle{\frac{7}{9}}$ にしたら元の式と一致しそう！

\begin{eqnarray} \overrightarrow{AP} &=& \frac{3\overrightarrow{AB}+4\overrightarrow{AC}}{9} \\\\ &=& \frac{7}{9}\frac{3\overrightarrow{AB}+4\overrightarrow{AC}}{7} \\\\ \end{eqnarray}