2次方程式の判別式(数Ⅱ)

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複素数と方程式

高校数学Ⅱで学ぶ『2次方程式の判別式』について解説しました!

判別式 $D$ は、高校数学Ⅰでも学びました!

高校数学Ⅱで、複素数の範囲で2次方程式を解く方法を学んだので、判別式もアップデートする必要があります!

計算を楽にするD/4の計算方法も解説しています!

この投稿を見れば、高校数学Ⅱで学ぶ判別式はバッチリ!

数学Ⅰで習った2次方程式の判別式をもう少し詳しくみてみよう!

数学Ⅰの2次方程式の判別式はこれ↓

2次方程式の判別式
『2次方程式の判別式D』は数学Ⅰの2次関数の分野で習いますが, 様々な場面で使うことができる重要な式です! 判別式Dの意味をきちんと知っておくことがとても大切です! 判別式Dって結局なんだっけ?という人はこの投稿を見れば,判別式Dの理解が深まります!

2次方程式の解の公式

2次方程式の解の公式

2次方程式 $ax^2+bx+c=0$ の解は $\displaystyle{x=\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}}$

2次方程式の解の公式の復習はこれ↓

2次方程式(複素数の範囲)
高校数学Ⅰでは、実数の範囲のみで2次方程式を解きました! 高校数学Ⅱで複素数を学んだので、複素数の範囲で2次方程式を解くことができます! この投稿では、複素数の範囲で2次方程式を解く方法をわかりやすく解説しました!

2次方程式の解の種類

複素数の範囲で考えた場合の2次方程式の解の種類を考えよう!

問題
次の2次方程式を解け。
(1) $2x^2-2x-1=0$
(2) $4x^2-4x+1=0$
(3) $2x^2-2x+1=0$

 

解答

(1) $2x^2-x-2=0$

   $\displaystyle{x=\frac{1±\sqrt{(-1)^2-4\cdot2\cdot(-2)}}{4}=\frac{1±\sqrt{17}}{4}}$
    異なる2つの実数解をもつ

(2) $4x^2-4x+1=0$

   $\displaystyle{x=\frac{4±\sqrt{(-4)^2-4\cdot4\cdot1}}{8}=\frac{4±\sqrt{0}}{8}=\frac{1}{2}}$
    重解(1つの実数解)をもつ

(3) $2x^2-x+2=0$  

   $\displaystyle{x=\frac{1±\sqrt{(-1)^2-4\cdot2\cdot2}}{4}=\frac{1±\sqrt{-15}}{4}=\frac{1±\sqrt{15}i}{4}}$
    異なる2つの虚数解をもつ
    ※実数解なし(数学Ⅰ)

 

$\sqrt{ }$ の中が

(1) 正 (2) $0$ (3) 負

のそれぞれで解の種類が異なるね!

ポイント

$\sqrt{ }$ の中が
 正のとき,異なる2つの実数解
 $0$ のとき,重解(実数解が1つ)
 負のとき,異なる2つの虚数解(数学Ⅰでは実数解なし)

のように解の種類を分類できる

判別式 $D$

解の公式の $\sqrt{ }$ の中によって,解の種類が判別できる!

だから,$b^2-4ac$ を判別式とする!

判別式 $D$
2次方程式 $ax^2+bx+c=0$ の判別式 $D=b^2-4ac$ とすると
 $D>0$ のとき,異なる2つの実数解
 $D=0$ のとき,重解(実数解1つ)
 $D<0$ のとき,異なる2つの虚数解

 
【補足】実数解をもつときは,$D>0$ または $D=0$ なので,「$D≧0$ $\Longleftrightarrow$ 実数解をもつ

$x$ の係数が偶数のときの判別式

$b$ が偶数のとき,$b=2b’$ とすると,
判別式 $D=b^2-4ac=(2b’)^2-4ac=4(b’^2-ac)$
すなわち, $D=4(b’^2-ac)$
両辺を $4$ で割って, $\displaystyle{\frac{D}{4}=b’^2-ac}$
$D$ と $\displaystyle{\frac{D}{4}}$ の符号は同じなので,

$x$ の係数が偶数のときは,$\displaystyle{\frac{D}{4}=b’^2-ac}$ を用いた方が計算が楽

$x$ の係数が偶数のときの判別式
$\displaystyle{\frac{D}{4}=(bの半分)^2-ac}$ を使う

思った以上に計算が楽になるので,使いこなそう!

まとめ

● 2次方程式の判別式

 2次方程式 $ax^2+bx+c=0$ の判別式 $D=b^2-4ac$ とすると
  $D>0$ のとき,異なる2つの実数解
  $D=0$ のとき,重解(実数解1つ)
  $D<0$ のとき,異なる2つの虚数解

● $x$ の係数が偶数のときの判別式

  $\displaystyle{\frac{D}{4}=(bの半分)^2-ac}$

問題

問題
2次方程式 $2x^2-2x+k=0$ が次の条件を満たす $k$ の値の範囲を求めよ。
(1) 異なる2つの実数解をもつ
(2) 異なる2つの虚数解をもつ

 

解答

(1) 異なる2つの実数解をもつ

 2次方程式 $2x^2-2x+k=0$ の判別式を $D$ とすると,
   $D=(-2)^2-4\cdot2\cdot k=4-8k$
 $D>0$ より, $4-8k>0$
          $-8k>-4$
          $\displaystyle{k<\frac{1}{2}}$

(2) 異なる2つの虚数解

 $D>0$ より, $4-8k<0$
          $-8k<-4$
          $\displaystyle{k>\frac{1}{2}}$ 

【$\displaystyle{\frac{D}{4}}$ を用いた場合】

(1) 2次方程式 $2x^2-2x+k=0$ の判別式を $D$ とすると,

   $\displaystyle{\frac{D}{4}=(-1)^2-2\cdot k=1-2k}$

 $D>0$ より, $1-2k>0$
          $-2k>-1$
          $\displaystyle{k<\frac{1}{2}}$ 

(2) 異なる2つの虚数解

 $D<0$ より, $1-2k<0$
          $-2k<-1$
          $\displaystyle{k>\frac{1}{2}}$

 

2次方程式の解の種類についての問題が出たら,判別式!

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