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2021年度共通テスト数学ⅡBの第1問「三角関数」の問題の解説!
解いたことがない人は解いてみよう!
第1問「三角関数」の問題
第1問
[1]
(1) 次の問題Aについて考えよう。
$\displaystyle{\sin\frac{\pi}{\boxed{\mathbf{ ア }}}=\frac{\sqrt{3}}{2}}$,$\displaystyle{\cos\frac{\pi}{\boxed{\mathbf{ ア }}}=\frac{1}{2}}$
であるから,三角関数の合成により
$\displaystyle{y=\boxed{\mathbf{ イ }}\sin\left(\theta+\frac{\pi}{\boxed{\mathbf{ ア }}}\right)}$
と変形できる。よって,$y$ は $\displaystyle{\theta=\frac{\pi}{\boxed{\mathbf{ ウ }}}}$ で最大値 $\boxed{\mathbf{ エ }}$ をとる。
(2) $p$ を定数とし,次の問題Bについて考えよう。
(i) $p=1$ のとき,$y$ は $\displaystyle{\theta=\frac{\pi}{\boxed{\mathbf{ オ }}}}$ で最大値 $\boxed{\mathbf{ カ }}$ をとる。
(ii) $p > 0$ のときは,加法定理
$\cos(\theta-\alpha)=\cos\theta\cos\alpha+\sin\theta\sin\alpha$
を用いると
$\displaystyle{y=\sin\theta+p\cos\theta=\sqrt{\boxed{\mathbf{ キ }}}\cos(\theta-\alpha)}$
と表すことができる。ただし,$\alpha$ は
$\displaystyle{\sin\alpha=\frac{\boxed{\mathbf{ ク }}}{\sqrt{\boxed{\mathbf{ キ }}}}}$,$\displaystyle{\cos\alpha=\frac{\boxed{\mathbf{ ケ }}}{\sqrt{\boxed{\mathbf{ キ }}}}}$,$\displaystyle{0 < \alpha <\frac{\pi}{2}}$
を満たすものとする。このとき,$y$ は $\theta=\boxed{\mathbf{ キ }}$ で最大値 $\sqrt{\boxed{\mathbf{ サ }}}$ をとる。
(iii) $p < 0$ のとき,$y$ は $\theta=\boxed{\mathbf{ シ }}$ で最大値 $\boxed{\mathbf{ ス }}$ をとる。
$\boxed{\mathbf{ キ }}$ ~ $\boxed{\mathbf{ ケ }}$,$\boxed{\mathbf{ サ }}$,$\boxed{\mathbf{ ス }}$ の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい)
$\boxed{\mathbf{ コ }}$,$\boxed{\mathbf{ シ }}$ の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい)
第1問「三角関数」の分析と対策
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この問題を分析するとこんな感じかな!
問題で扱われている分野と力
![](https://enjoy-mathematics.com/wp-content/uploads/2021/03/949e0b080dc0cd3c8380884ac56b6c57.jpg)
間違えた問題を分析すれば,自分がどこでつまずいているか分かるよ!
- 三角関数の値 $\boxed{\mathbf{ア}}$,$\boxed{\mathbf{オ}},\boxed{\mathbf{カ}}$
- 三角関数の合成 $\boxed{\mathbf{イ}}$
- 三角関数の最大 $\boxed{\mathbf{ウ}},\boxed{\mathbf{エ}}$,$\boxed{\mathbf{コ}}~\boxed{\mathbf{ス}}$
- 加法定理と合成 $\boxed{\mathbf{キ}},\boxed{\mathbf{ケ}}$
問題の分析
(1) は
- 三角関数の値
- 三角関数の合成
- 三角関数の最大値
と基本的なレベルの問題となっている
(2) は三角関数の合成を
機械的に解いている受験生にとっては難しい問題
だった
普段は $\sin$ の合成の問題が出題されることがほとんどなので,
$\cos$ の合成が出題されたので戸惑った受験生が多かったのではないか
三角関数の合成は,加法定理の逆の計算である
ことを理解しておく必要がある
対策
(1) は三角関数の理解度をはかるにはちょうどよい問題
三角関数の合成から,最大値・最小値の問題は定番なので練習しておこう
(2) は三角関数の合成が加法定理の逆の計算であることを理解し
その手順で三角関数の合成ができるようになる必要がある
\begin{eqnarray} y &=& \sin\theta+\sqrt{3}\cos\theta \\\\ &=& 2\left(\sin\theta\cdot\frac{1}{2}+\cos\theta\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \\\\ &=& 2\left(\sin\theta\cos\frac{\pi}{3}+\cos\theta\sin\frac{\pi}{3}\right) \\\\ &=& 2\sin \left(\theta+\frac{\pi}{3}\right) \\\\ \end{eqnarray}![](https://enjoy-mathematics.com/wp-content/uploads/2021/07/a0fb6fedc784d5ecfd6c455daa64ebfb.png)
解答
(1)
(1) 次の問題Aについて考えよう。
$\displaystyle{\sin\frac{\pi}{\boxed{\mathbf{ ア }}}=\frac{\sqrt{3}}{2}}$,$\displaystyle{\cos\frac{\pi}{\boxed{\mathbf{ ア }}}=\frac{1}{2}}$
であるから,三角関数の合成により
$\displaystyle{y=\boxed{\mathbf{ イ }}\sin\left(\theta+\frac{\pi}{\boxed{\mathbf{ ア }}}\right)}$
と変形できる。よって,$y$ は $\displaystyle{\theta=\frac{\pi}{\boxed{\mathbf{ ウ }}}}$ で最大値 $\boxed{\mathbf{ エ }}$ をとる。
三角関数の値より,
$\displaystyle{\sin\frac{\pi}{\boxed{\mathbf{3}}}=\frac{\sqrt{3}}{2}}$,$\displaystyle{\cos\frac{\pi}{\boxed{\mathbf{3}}}=\frac{1}{2}}$
![](https://enjoy-mathematics.com/wp-content/uploads/2021/10/439f301b52d950d98675e525e74fe14c.png)
単位円(半径が $1$ の円)における $\sin$ は $y$ 座標,$\cos$ は $x$ 座標
三角関数の合成を計算で表すと
\begin{eqnarray} y &=& \sin\theta+\sqrt{3}\cos\theta \cdots\cdots (Ⅰ) \\\\ &=& 2\left(\sin\theta\cdot\frac{1}{2}+\cos\theta\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \cdots\cdots (Ⅱ) \\\\ &=& 2\left(\sin\theta\cos\frac{\pi}{3}+\cos\theta\sin\frac{\pi}{3}\right) \cdots\cdots (Ⅲ) \\\\ &=& \boxed{\mathbf{2}}\sin \left(\theta+\frac{\pi}{\boxed{\mathbf{3}}}\right) \cdots\cdots (Ⅳ) \\\\ \end{eqnarray}(Ⅰ) から (Ⅱ) は,$\sin\theta$ の係数 $1$ と $\cos\theta$ の係数 $\sqrt{3}$ を用いて
$\sqrt{1^2+(\sqrt{3})^2}=2$
$\sin\theta+\sqrt{3}\cos\theta$ を $2$ でくくると (Ⅱ) の式ができる
(Ⅱ) から (Ⅲ) は, $\displaystyle{\sin\frac{\pi}{\boxed{\mathbf{3}}}=\frac{\sqrt{3}}{2}}$,$\displaystyle{\cos\frac{\pi}{\boxed{\mathbf{3}}}=\frac{1}{2}}$ を用いる
(Ⅲ) から (Ⅳ) は,加法定理
$\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$
を用いる
![](https://enjoy-mathematics.com/wp-content/uploads/2021/03/51bae72de686cf9eec05d28c967f24d3.jpg)
加法定理の逆が三角関数の合成と考えよう!
![](https://enjoy-mathematics.com/wp-content/uploads/2021/07/a0fb6fedc784d5ecfd6c455daa64ebfb.png)
![](https://enjoy-mathematics.com/wp-content/uploads/2021/03/51bae72de686cf9eec05d28c967f24d3.jpg)
三角関数の合成を機械的にする方法はこれ!
三角関数の合成より,
![](https://enjoy-mathematics.com/wp-content/uploads/2021/07/73e7d4971c1cd28d07af0591e2f4b501.png)
$\displaystyle{y=2\sin \left(\theta+\frac{\pi}{3}\right)}$ の最大値を求める
$\displaystyle{\theta+\frac{\pi}{3}}$ の範囲は,$\displaystyle{0 ≦ \theta ≦\frac{\pi}{2}}$ より,
$\displaystyle{0 ≦ \theta ≦\frac{\pi}{2}}$
$\displaystyle{\frac{\pi}{3} ≦ \theta+\frac{\pi}{3} ≦\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{3}}$
$\displaystyle{\frac{\pi}{3} ≦ \theta+\frac{\pi}{3} ≦\frac{5}{6}\pi}$
$\displaystyle{\frac{\pi}{3} ≦ \theta+\frac{\pi}{3} ≦\frac{5}{6}\pi}$ において $\displaystyle{y=2\sin \left(\theta+\frac{\pi}{3}\right)}$ の最大値を求める
![](https://enjoy-mathematics.com/wp-content/uploads/2021/10/5dde827694556146f08b7fb9b858a0d6.png)
$\displaystyle{\sin \left(\theta+\frac{\pi}{3}\right)}$ は $\displaystyle{\theta+\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{2}}$ で最大値 $1$ をとる
すなわち
$\displaystyle{\sin \left(\theta+\frac{\pi}{3}\right)}$ は $\displaystyle{\theta=\frac{\pi}{6}}$ で最大値 $1$ をとる
したがって,
$\displaystyle{y=2\sin \left(\theta+\frac{\pi}{3}\right)}$ は $\displaystyle{\theta=\frac{\pi}{ \boxed{\mathbf{6}} }}$ で最大値 $ \boxed{\mathbf{2}} $ をとる
![](https://enjoy-mathematics.com/wp-content/uploads/2021/10/32552364935a64f74cf30f19b627c4ce-1.png)
(2)
(2) $p$ を定数とし,次の問題Bについて考えよう。
(i) $p=0$ のとき,$y$ は $\displaystyle{\theta=\frac{\pi}{\boxed{\mathbf{ オ }}}}$ で最大値 $\boxed{\mathbf{ カ }}$ をとる。
(ii) $p > 0$ のときは,加法定理
$\cos(\theta-\alpha)=\cos\theta\cos\alpha+\sin\theta\sin\alpha$
を用いると
$\displaystyle{y=\sin\theta+p\cos\theta=\sqrt{\boxed{\mathbf{ キ }}}\cos(\theta-\alpha)}$
と表すことができる。ただし,$\alpha$ は
$\displaystyle{\sin\alpha=\frac{\boxed{\mathbf{ ク }}}{\sqrt{\boxed{\mathbf{ キ }}}}}$,$\displaystyle{\cos\alpha=\frac{\boxed{\mathbf{ ケ }}}{\sqrt{\boxed{\mathbf{ キ }}}}}$,$\displaystyle{0 < \alpha <\frac{\pi}{2}}$
を満たすものとする。このとき,$y$ は $\theta=\boxed{\mathbf{ キ }}$ で最大値 $\sqrt{\boxed{\mathbf{ サ }}}$ をとる。
(iii) $p < 0$ のとき,$y$ は $\theta=\boxed{\mathbf{ シ }}$ で最大値 $\boxed{\mathbf{ ス }}$ をとる。
$\boxed{\mathbf{ キ }}$ ~ $\boxed{\mathbf{ ケ }}$,$\boxed{\mathbf{ サ }}$,$\boxed{\mathbf{ ス }}$ の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい)
$\boxed{\mathbf{ コ }}$,$\boxed{\mathbf{ シ }}$ の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい)
(i) $p=0$ のとき, $y=\sin\theta$
$\displaystyle{0 ≦ \theta ≦\frac{\pi}{2}}$ より,
![](https://enjoy-mathematics.com/wp-content/uploads/2021/10/beabae33f418f750335674a4f36c1a6e.png)
$y$ は $\displaystyle{\theta=\frac{\pi}{\boxed{\mathbf{2}}}}$ で最大値 $\boxed{\mathbf{1}}$ をとる
(ii) $p > 0$ のときは,
\begin{eqnarray} y &=& \sin\theta+p\cos\theta \\\\ &=& \sqrt{1^2+p^2}\left(\sin\theta\cdot\frac{1}{\sqrt{1^2+p^2}}+\cos\theta\cdot\frac{p}{\sqrt{1^2+p^2}}\right) \\\\ &=& \sqrt{1^2+p^2}\left(\sin\theta\cdot\frac{1}{\sqrt{1+p^2}}+\cos\theta\cdot\frac{p}{\sqrt{1+p^2}}\right) \end{eqnarray}ここで,
$\displaystyle{\sin\alpha=\frac{1}{\sqrt{1+p^2}}}$,$\displaystyle{\cos\alpha=\frac{p}{\sqrt{1+p^2}}}$
となる角 $\alpha$ $\displaystyle{\left(0 < \theta < \frac{\pi}{2}\right)}$ を用いると
![](https://enjoy-mathematics.com/wp-content/uploads/2021/10/310e4b8ac3a7f4f2db7e6ae4289ef7ce.png)
\begin{eqnarray} y &=& \sqrt{1^2+p^2}\left(\sin\theta\sin\alpha+\cos\theta\cos\alpha\right) \\\\ &=& \sqrt{1^2+p^2}\left(\cos\theta\cos\alpha+\sin\theta\sin\alpha\right) \end{eqnarray}
加法定理 $\cos(\theta-\alpha)=\cos\theta\cos\alpha+\sin\theta\sin\alpha$ より
$\displaystyle{y=\sqrt{\boxed{\mathbf{1+p^2}}}\cos(\theta-\alpha)}$
ただし,$\alpha$ は
$\displaystyle{\sin\alpha=\frac{\boxed{\mathbf{1}}}{\sqrt{\boxed{\mathbf{1+p^2}}}}}$,$\displaystyle{\cos\alpha=\frac{\boxed{\mathbf{p}}}{\sqrt{\boxed{\mathbf{1+p^2}}}}}$
$\theta-\alpha$ の範囲は,$\displaystyle{0 ≦ \theta ≦\frac{\pi}{2}}$ より,
$\displaystyle{0 ≦ \theta ≦\frac{\pi}{2}}$
$ \displaystyle {-\alpha ≦ \theta-\alpha ≦ \frac{\pi}{2}-\alpha}$
$ \displaystyle {-\alpha ≦ \theta-\alpha ≦ \frac{\pi}{2}-\alpha}$ において $\displaystyle{y=\sqrt{1+p^2}\cos(\theta-\alpha)}$ の最大値を求める
![](https://enjoy-mathematics.com/wp-content/uploads/2021/10/2b100a4fc85ca66d4c0ea7ec79e30540-1.png)
$\cos(\theta-\alpha)$ は $\theta-\alpha=0$ で最大値 $1$ をとる
すなわち,
$\cos(\theta-\alpha)$ は $\theta=-\alpha$ で最大値 $1$ をとる
したがって,
$\displaystyle{y=\sqrt{1+p^2}\cos(\theta-\alpha)}$ は $\theta= \boxed{\mathbf{-\alpha}} $ で最大値 $ \boxed{\mathbf{\sart{1+p^2}}}$ をとる
![](https://enjoy-mathematics.com/wp-content/uploads/2021/10/0ffa9184212b03585e64ccd642e0d18b.png)
(iii) $p < 0$ のとき,
$p=-q$ $(q>0)$ とすると
$\displaystyle{y=\sin\theta-q\cos\theta}$
$\displaystyle{0 ≦ \theta ≦ \frac{\pi}{2}}$ において $\theta$ が増えるにつれて,
$\sin\theta$ は増加,$\cos\theta$ は減少
するので,$y$ の値は増加する
よって,$y$ は $\displaystyle{\theta=\frac{\pi}{2}}$ で最大値をとる
したがって,
$y$ は $\displaystyle{\theta=\boxed{\mathbf{\frac{\pi}{2}}}}$ で最大値 $\boxed{\mathbf{1}}$ をとる。
問われる力
- 三角関数の値
- 三角関数の合成
- 加法定理
- 三角関数の最大
2021年度共通テストの大問
2021年度共通テスト数学ⅠA
- 第1問【1】数と式
- 第1問【2】図形と計量
- 第2問【1】2次関数
- 第2問【2】データの分析
- 第3問 場合の数と確率
- 第4問 整数の性質
- 第5問 図形の性質
2021年度共通テスト数学ⅡB
- 第1問【1】三角関数
- 第1問【2】指数関数・対数関数
- 第2問 微分法・積分法
- 第3問 確率分布と統計的な推測
- 第4問 数列
- 第5問 ベクトル
![](https://enjoy-mathematics.com/wp-content/uploads/2021/03/51bae72de686cf9eec05d28c967f24d3.jpg)
三角関数の理解を深めるための良問!
解けなかった問題はしっかり練習しよう!
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